Sergey_P писал(а):
Формулировка Эйлера устанавливает логическую взаимосвязь между представлением сигнала в виде экспонент или координат векторов (sin, cos,) на фазовой плоскости. Т.е. сумма экспонент – есть экспонента, с некой усредненной постоянной времени и амплитудой или же сумме векторов частотных компонентов на фазовой плоскости. Суммарный экспоненциальный сигнал может быть создан из бесконечного количества составляющих, имеющих неопределеннуые амплитуды и постоянные времени…, точно так же и на фазовой плоскости суммарный сигнал может быть создан из неопределенного количества сигналов с произвольной амплитудой и фазой.
Для разделения 2-х откликов из суммарного сигнала необходимо иметь две достоверные информации от этих сигналов: две фазы/две постоянные времени, две амплитуды, амплитуду+фазу/амплитуду+пост.времени.
Разделить суммарный сигнал на составляющие, не имея какой-либо дополнительной информации о составляющих этой суммы – невозможно.
Вообще-то , формула Эйлера даёт соотношения для
комплексных экспонент , которые фактически оказываются тождественны тригонометрическим функциям . Почему оно так - это довольно интересный математический вопрос , так же как и почему
e^i*pi=-1 .... но для нас важнее другое - можно ли на приёме разделить , например , несколько экспоненциальных сигналов ? Ваше утверждение , что
сумма экспонент есть экспонента - в точном математическом смысле неверно , хотя бы потому , что логарифм от экспоненты есть линейная функция , а вот логарифм от суммы экспонент - линейной функцией не является
. Но на практике , мы же имеем дело не с аналитическими ( идеально точными ) функциями , а с некими их приближениями ( известными неточно ) .... и вот тут получается , что разделить на составные части сумму , например , двух экспонент с достаточно близкими постоянными времени - действительно невозможно . Невозможно потому , что численное решение получившихся уравнений будет "
неустойчивым" .
Иначе говоря - такое решение будет изменяться достаточно сильно даже при малых ошибках исходных данных , а без ошибок в исходных данных мы обойтись не можем , хотя бы из-за наличия шумов и помех . И вот , действительно - на практике может получиться , что сумма нескольких экспонент с БЛИЗКИМИ постоянными времени - будет на некоем
конечном интервале неотличима от одной экспоненты с некоторой "средней" постоянной времени . Но верно также и другое - при достаточно большом отличии постоянных времени экспонент - их разделить можно . Например , это можно сделать , применяя тот корреляционный метод анализа приёмного сигнала , который я описывал в теме про "рекуперацию" . Метод этот практически проверен - то есть реально работает . И при этом методе , чтобы измерить постоянную времени одной экспоненты - надо иметь два канала корреляции ( в моём примере - линейный и параболический ) , а чтобы появилась возможность различать ДВЕ экспоненты - надо соответственно иметь ТРИ канала ( добавить ещё и кубический ) . Кстати , достаточно громоздко это выглядит только в аналоговом исполнении , а при цифровой обработке - всё это можно легко "впихнуть" в процессор , причём ресурсов это потребует уж всяко меньше , чем например для преобразования Фурье . И чем ещё этот метод хорош - что он как раз хорошо себя ведёт при наличии шумов , просто потому , что мы там интегрируем функцию на всём интервале измерения , а не сэмплируем её в одной или нескольких точках , как это часто делают в простых импульсных приборах .